Р=у. Коэффициенты Ламе: А=1, j5=1, а кривизны оболочки в недеформированном состоянии приравниваются нулю (1 ?1=0, 1 ?2=0). Тогда Ададх, Вдрду. Для любых деформаций и перемещений справедливы геометрические соотношения (9.9.2), в которых компоненты

ди dw dw

Ь = -; У1 = -; ©1 = -;

дх дх дх

ду ди dw

82 =-; y2 =-; ®2 =--

ду ду ду

(9.9.34)

Поверхностные составляющие внешних сил, отнесеные к площади недеформированного элемента поверхности и направленные вдоль

осей, касательных к линиям а и Р и по нор* * *

Мали к поверхности, обозначены /j ,/2/3 Их можно выразить через силы, действующие на мембрану в деформированном состоянии. Если мембрана нагружена только давлением />3, нормальным к деформированной поверхности,

. dw

= -/з.

(9.9.36)

Приведенные уравнения учитывают все составляющие сил на оси недеформированной поверхности и получены без каких-либо упрощений.

Вариант уравнений равновесия мембраны может бьпъ получен из соотношений (9.9.14) - (9.9.16), которые соответствуют осям деформированной поверхности оболочки:

fx =Рз fl-Ръ

dw dw dw dw dw

dx dy dx dx dy )

dw du dw du dw

dy dx dy dy dx )

du dw du dw dw du

dx dy dx dy dy dy)

(9.9.35)

Уравнения равновесия мембраны получаются из общих соотношений (9.9.11) -(9.9.13). Для системы координат, совпадающей с недеформированной поверхностью,

аг, dS d

Ч dx

dy дх

,ди ду]

dS дТ. д - + - + -

дх ду ду

дх) ду

= -/i;

=-/;;

dy дх

дх ду

2со-- 1+(0 --

дх J

ду дх

+Т2Щ

f(X,co)

I дх ду

ах, а , .

[ду дх

2(0-

1 + со

Rl R2 Л12

где и 2 - степени удлинения вдоль осей х и у соответственно; со - косинус угла между осями Х1л.у после деформации.

4> 4> 4>

Радиусы кривизны , 12 оправляются из следующих ({юрмул:

1 X.tX2Vl-co

+ Y102 + Y201

-Y1V2]

д дх

д дх

1 +е,

-02(1+8,) +

(1+8,)(1+82)-

4- = -f=7{[-ei(i-2)-

2 XtXjVl-CO

-©2(1+81) +

+ Y,02 + Y2©i

1+81

(9.9.38)

Зависимости для 1 / / 21 могут быть найдены после замены индексов 1 на 2, 2 на 1 и X на > в приведенных соотношениях. В уравнениях равновесия (9.9.36) силы обобщенные, а в (9.9.37) истинные. Связь между ними дана выше. Силы с составляющими де-({юрмаций или степенями удлинения должны быть связаны соотношениями упругости. Вместе с ними уравнения равновесия и геометрические соотношения в ({юрме (9.9.2) или в другом варианте, где деформации представлены через к\, Х.2, о), составляют полную систему зависимостей для мембраны в прямоугольной системе координат.

Решение уравнений мембраны в такой форме весьма трудоемко. В расчетах используют соотношения, соответствующие малым

деформациям. При этом полагается: линейные составляющие деформаций существенно меньше единицы; при малых деформациях относительные удлинения равны правым частям ({юрмул (9.9.2), а истинные силы - обобщенным; принимается также условие малости касательных перемещений и их производных по сравнению с нормальным перемещением w. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями.

ди 1

дх 2

Во =

{дх) dy

dy 2

CO =

du dw dw + - +--,

dx dy dx dy

(9.9.39)

Условие равновесия, соответствующее принципу возможных перемещений, при нагружении нормальными к деформированной поверхности силами

JJri58i +Г2582 S*\dxdy +

dw ew

- Ъи+ - 5v +5W

(9.9.40)

\dxdy.

-[(l+8,)(l+82)- ЭГ,

Уравнения равновесия, которые могут быть получены из (9.9.40) после подстановки (9.9.39) и интегрирования по частям,

dS ду

= Рз-

dw dS дТ.

дх дх ду

= Рз-

T2 -

= -Рз-

(9.9.41)

Последнее уравнение с использованием первых двух можно заменить зависимостью

= -Рз

д дхду

(9.9.42)

К полученным уравнениям необходимо добавить физические соотношения, связыва-

ющие усилия Ti, /2, S с составляющими де-

формащ€и 8J,82 со . Следует отметить, что рассмотренная следящая поверхностная нагрузка Р2 определяет правую часть уравнений (9.9.41), (9.9.42). Если нагрузка при деформировании мембраны сохраняет первоначальное направление, то первые два уравнения (9.9.41) однородны, а правая часть (9.9.42) равна р.

9.9.5. ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ мягких ОБОЛОЧЕК

Техническая теория справедлива при малых деформациях и основывается на линеаризованных соотношениях. Используется метод расчленения напряженно-десюрмированного состояния на основное и дополнительное. Наиболее простое основное состояние корректируется дополнительным на отдельных участках оболочки.

При построении технической теории мягких оболочек все силы и параметры, характеризующие геометрию десрмированного состояния оболочки, представляют в виде суммы компонент основного состояния и дополнительных слагаемых. Геометрия оболочки в основном состоянии считается известной. В качестве такой геометрии может быть принята начальная (раскройная) сюрма оболочки или некоторая промежуточная, близкая к окончательной и определенная при упрощенном нагружений или при более простых граничных условиях (например, без учета стеснения перемещений). Силы в основном состоянии находят для заданной геометрии по линейной безмоментной теории.

Линеаризованная относительно основного состояния система уравнений соответствует дополнительному состоянию. В соответствии с условием разделения сил

Ti =7-10+7; Г2 =720+724 = о+-

(9.9.43)

Первые слагаемые отнесены к форме основного состояния и считается, что они получаются из уравнений равновесия безмоментной теории оболочек при поверхностных нагрузках /10, /20, fO Полные составляющие поверхностных сил также разделяются на две части:

А =/10+Л; /2 =/20+/2 /з =/зО+/з-

(9.9.44)

Разделение внешней нагрузки проводится так, чтобы первые слагаемые описывались плавно изменяющимися функциями.

Рассмотрим условие равновесия элемента оболочки (9.9.7). Приращение работы внутренних сил на возможных перемещениях в виде трех слагаемых

Зи =3Uq+3U+3U2- (9.9.45)

Слагаемое 3Uq соответствует основному состоянию:

j(7io68i +Г2о§82 обу! + + 5о§У2)]иф.

Выражением составляющих деформаций через перемещения с помощью уравнений Остро градского-Гаусса получены уравнения равновесия безмоментной линейной теории оболочек. Во втором слагаемом (9.9.45) учитываются только дополнительные силы, а также силы основного состояния на десюрмации и углы поворота, умноженные на вариации деформаций:

= jj (TJSei +2882 +55yi +5872) + + (7io8258i + 7ioyi5yi + 7io0i50i +

+ 7-2081882 +7-207272 -Т2о&22 + + 5q8i572 +5q7258i +5q8257i + + 5q7i582 +5001502 +

+500201 )]fifocfp.

(9.9.46)

Эта составляющая работы внутренних сил в технической теории мягких оболочек занимает особое место. Она позволяет сравнительно простыми методами решить целый ряд сложных задач. В вьфажение 8/2 входят члены более высоких степеней, при малых значениях десюрмаций они незначительны и в технической теории не учитьшаются.

Приращение работы внешних сил на возможных перемещениях так же, как в (9.9.45), разделяется на три составляющие:

5 = 5.4+ 51 + 52. (9.9.47)

В соответствии с разделением поверхностных сил

SO = jj(/ioS +/20SV +/3oSw)>LBdx#.

(9.9.48)

Слагаемое 5i получается в результате линеаризации (9.9.10) с использованием (9.9.44):

84 = jj[/iSw + /2SV + /3SW +

-/10(1 +2) -/20(1 +2)-