Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 Уравнения (9.10.6) и (9.10.11) используют для получения зависимостей, связывающих в теории пластин и оболочек сиЛы, моменты и параметры деформации срединной поверхности. Свойство температурных напряжений. Температурные напряжения в изотропных и анизотропных телах при закреплении, не препятствующем их деформации, не возникают только в том случае, если температурные деформации OLyT удовлетворяют условиям совместности деформации Сен-Венана. Для доказательства допускается, что температурные напряжения отсутствуют: Оу] = {с} = 0. (9.10.12) Тогда уравнения равновесия будут удовлетворяться, а из соотношений упругости (9.10.7) Рис. 9.10.1. Анизотропия свойств коэффициентов TCMneparypiibix деформаций Решение (9.10.12) следует признать точным, если удовлетворяются уравнения совместности деформаций. В результате, если в декартовой системе координат при постоянных коэффициентах температурных деформаций (aj,a2,aj2,.--) температура является линейной функцией координат, то температурные напряжения (в теле, свободном от закрепления) не возникают. Это связано с тем, что условия совместности деформаций в декартовых координатах содержат вторые производные по координатам. В других случаях, при анизотропии коэффициентов температурных деформаций, могут возникать температурные напряжения. На рис. 9.10.1 показаны два анизотропных тела, причем при постоянной температуре во втором случае возникают температурные напряжения. Следует отметить, что при изотропии коэффициентов линейного расширения температурные напряжения в незакрепленном теле при линейном изменении температуры не возникают. 9.10.2. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНАХ Круглые пластины при осесимметричном температурном поле, постоянном по толщине пластины. Температурные напряжения определяются решением следующего дифференци- ального уравнения для радиального перемещения: dr dr г dr = (1 +ц)ф(г)аГ +-Г(1 ц)агО dr 1+Ц 0 где ф(г) = - dr ; h - толщина плас- V 1-м J тины. при постоянных величинах Д ц, h радиальные и окружные температурные напряжения в круглых кольцевых пластинах (края пластинки свободны от закрепления) CTj = Е\ (2 = Е\ -F{r) (9.10.13) -F{r)-aT\ (9.10.14) J г где / (г) =-r-J г,аГ (rjjrfr,; а и b - соот- о ветственно внутренний и внешний радиус пластины. Для пластины без центрального отверстия Gi=E{F{b)-F{r)); (9.10.15) G2 = E(F(b)-F(r)-aT\ (9.10.16) Здесь F{r)=-L]r,aT\ri)dri. о В центре сплошной пластины 7(0)=0,5аГ(0). Круглые пластины при осесимметричном температурном поле, изменяющемся по толщине. Если температура изменяется по координате z, то возникают дополнительные температурные напряжения, вызывающие изгиб пластины. Для пластины постоянной толщины Z\aT\dz-aT {Л/} = Температурные напряжения, вызывающие растяжение (сжатие) в пластине, определяются по формулам (9.1.13), (9.10.14) или (9.10.15), (9.10.16) для средней температурной деформации по толщине пластины К) 4 ar{r,z)zdz. Температурные напряжения в прямоугольных пластинах. Рассматриваются пластины постоянной толщины. Модуль упругости считается переменным по толщине (например, биметаллические пластины); коэффициент Пуассона принимается постоянным. Силы и моменты в сечениях пластины показаны на рис. 9.2.2. Принято, что координатная плоскость отстоит от лицевых плоскостей пластины на расстояниях дх и 52, причем ее положение определяется условием JEzdz=0, (9.10.17) В соответствии с уравнениями (9.10.11) и (9.10.18) где [Ло] = j[A]dz; [D] = j[A]zdz; -5i -5, {Nr}=][A]{aTyz; {M,}=][A][aT]zdz, Если известны силовые факторы, то напряжения Координата z отсчитывается от координатной плоскости. При постоянном значении Е получим 5j = 0,5Л. Деформации в пластине на основе гипотезы прямой нормали Gi = Е\
дхду -Z- JEdz JEzdz I2 - Щ JEdz JEt Ezdz или в краткой форме {8} = {£о}-г{4 (9.10.18) Силовые факторы = Е\ JEdz JEzdz 12 J Г 2 JEaTdz
\Edz (9.10.20) EzqlT dz [Ezdz Прямо}то1ьная пластина, температура изменяется по толщине Т®=Г(г). Внешние нагрузки на пластину отсутствуют, края пластины свободны от закрепления. Тогда силы Tj, ТЪ *12 и моменты Л/], Af2 12 отсутствуют, и из уравнений (9.10.19) следуют температурные напряжения в пластине а, = а-, = JEaTdz (9.10.21) JEzaTdz JEzdz Если температура то из уравнения (9.10.21) аЕ 1 - * /=о I 2j При /=0, /-1 (линейное распределение температуры по координате z) температурные напряжения не возникают. При защемленных краях пластины (пластина произвольного контура, края пластины заделаны) Eiz)ar(z) 1-Ц Пластина остается плоской и каждый ее слой находится в условиях полного стеснения температурной деформации. Следует отметить, что в тонких пластинах при этом может наступить потеря устойчивости, если усилия 7i = Г2 =--{EaTdz окажутся равными критическим. Прямоугольная пластина при произвольном распределении температуры z). Для определения сил в плоскости пластины вводится функция напряжений F(x, у), причем ду дх дхду (9.10.22) Тогда уравнения равновесия удовлетворяются, а из условия совместности деформаций ,2 дхду 1+ц д f [а дхду) I *2 (9.10.23) где А = JEdz - жесткость на растяжение 2 д д (единицы длины сечения); V = дх ду |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |