Для пластины с постоянной жесткостью на растяжение уравнение (9.10.23) имеет вид

EaTdz

4 A 4

д д д

где V = + 2--2-+-

, (9.10.24)

- бигармо-

дх дх ду ду нический оператор.

Краевые условия устанавливаются с помощью соотношений (9.10.22). Для определения изгибающих моментов М\, М2 и крутящего Л/12 используется уравнение относительно прогибов W(x, у):

I 1 У }]

д\ д\

\ду дх -)

дхЁу

д W дхду

(9.10.25)

J- [zBxTdz

D--г- \Ez dz - цилиндрическая

жесткость.

Для пластины постоянной толщины из уравнения (9.10.25)

[zJETdz 1-Ц \

Моменты выражаются через прогибы по следующим равенствам:

2 2

:.2 2

Последние соотношения используются при формировании краевых условий для уравнения (9.10.25).

Метод конечных элементов. Сложные задачи определения температурных напряжений в пластинах (при резких изменениях геометрии типа надрезов, отверстий и пр.) решаются МКЭ. Следует отметить, что на той же сетке конечных элементов часто решается и задача расчета температурного поля. Рассмотрим случай, когда температура постоянна по толщине пластины, Т=Т (х, у), и внешние нагрузки отсутствуют.

Напряжения и деформации связаны зависимостью (9.10.11):

Перемещения и деформации в элементе выражаются через вектор перемещения узлов л} следующим образом:

{ }=[Ф]{Д};

{в} = [5]{д}.

где [ф] - матрица функций формы, позволяющая определить упругие смещения точек элемента по заданным перемещениям его узлов:

[ф].

Основное уравнение МКЭ, вьггекающее из вариационного уравнения Лагранжа, имеет следующий вид:

= 0,

(9.10.26)

ще Nr - число элементов; п - индекс элемента транспонирования.

Ввиду произвольности вариаций узловых перемещений из уравнения (9.10.26) получается система линейных алгебраических уравнений для узловых перемещений и находятся деформации и напряжения.

Применение МКЭ излагается в работах [16, 30, 36] и др.

9.10.3. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ

Физические уравнения (соотношения упругости) для оболочек имеют такую же структуру, как и для пластин, поскольку в технической теории пластин и оболочек рассматривается плоское напряженное состояние.

Цилиндрические оболочки при осесиммет-ричвом температурном поле. Рассматривается цилиндрическая оболочка переменной толщины и с переменньв* модулем упругости по длине и толщине. Радиус координатной поверхности выбирается из условия (9.10.17). Дифференциальное уравнение изгиба оболочки от действия температурного поля

л- - = - liar dt-

(9.10.27)

Величины A vi D даны в уравнениях (9.10.23) и (9.10.25). Если параметры А vl D постоянны по длине обалочки (цилиндрическая оболочка постоянной толщины с постоянными £ и ц), то уравнение (9.10.27) имеет вид

Чу . 4 Е

J + 4pV = - [aTdz-

(1-ц)/)

Здесь

jTdz.

(9.10.28)

4Р =

Решение уравнения (9.10.28) может быть представлено через функции Крылова [8].

Температурные напряжения в цилиндрической оболочке при осесимметричном нагреве

а, =

71 1-м

- z-

Величина (J.J.д определяется по формуле

(9.10.19). При изменении температурного поля только по толщине оболочки и свободных ее торцах <1=<2-тд- ® рассматриваемом случае температурные напряжения в пластине и тонкой оболочке совпадают.

Оболочки вращения при осесимметричном температурном поле. Точки координатной поверхности оболочки характеризуются длиной дуги S меридионального сечения. Деформации в слое

Sj = 8qi +гавр 82 = 802 ®2 где Soj,So2 - деформации в точках координатной поверхности; ж и 2 - изменение кривизны поверхности в результате упругой деформации. Величины

Gj cosa

ds г

где Gj - угол поворота нормали.

Если принять в качестве основных неизвестных параметры Майснера vjs = R2{sQ{s

и ©(5), то для определения температурных

напряжений получена система двух дифференциальных уравнений [8]

d ds

Ry dx\

Ka ds)

ctga dr\

A ds

ctg%

1+ц:

d&i ds

-sma

-ц-@1=ц>п; A

+ - {liD@co&a) -ds

-jiD-cosa - D ds

ctga cosa

+t]Sina = \\f2j-Температурные функции;

ctga

(i-t)

\/2t = - (2t ) ~ cosa; ds

=- \zEa.rdz.

--8,

Величины г(5) и в(.5) при определенных краевых условиях позволяют однозначно определить силы и моменты в оболочке.

Глава 9.11

РАСЧЕТ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ

9.11.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ и ПОЛЗУЧЕСТИ

Для учета деформаций пластичности наибольшее распространение получили теории: деформационная Генки-Ильюшина и пластического течения Сен-Венана - Прандтля-Рейсса.

Деформационная теория пластичности. В

деформационной теории упругопластических деформаций изотропного тела используются следующие шесть зависимостей между деформациями и напряжениями:

8i - 8 = у-(aj - а],...;

0,5Г12 =4--12,- . Е

Недостающие уравнения получают по правилу круговой перестановки. Средние деформации и напряжения

В соответствии с закономерностями упругой деформации

8 = ia-haГ (9.11.2)

где аГ - температурная деформация. Параметр пластичности

ЪЕ 8,

2(1+Ц) а,-

где ау8у - интенсивности соответственно напряжений и деформаций.

Интенсивность напряжений для напряженного состояния:

трехмерного

двумерного а

i = (у -1-СГ2 +01<у2 Ь2 (9.11.3)

octi

Интенсивность деформаций для трехмерного состояния

(81-82) +...+-Y12....

(9.11.4)

Для двумерного напряженного состояния в (9.11.4) 713=0 и 723=0.

Интенсивности напряжений и деформаций связаны по деформационной теории единой кривой деформирования, в качестве которой можно принять кривую деформирования

(9.11.1)

Рис. 9.11.1. Кривая деформнровшпы материала