Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 9.11.1. Предельные нагрузки для пластин - Схема нагружения Формула Круглые опертые пластины шипит % Р26
ььм. с[ЪЬ-2с) Р = 2пМ. 1-а/Ь Круглые заделанные пластины Схема нагружения Формула Круглые кольцевые пластины Р = iTiM, Р = 2пМ, \ + \п[Ь/ а) \п{Ь I а) 2%М, \-а/b Пластины, опертые по контуру Р = пМ. 0,86 < < 1,06 6Л/. аь аЬ Р = 2М,гл%- Примечание: для полигональной пластины п - число сторон. Глава 9.12 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ПЛАСТИН Н ОБОЛОЧЕК 9.12.1. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ Задача устойчивости пластин в классической постановке формулируется при следующих допущениях: 1) пластина идеально плоская и до потери устойчивости равнодействующие всех внешних сил и реакций опор действуют строго в ее срединной плоскости; 2) до потери устойчивости начальное напряженное состояние пластины описывается соотношениями линейной теории упругости, а изменением размеров пластины пренебрегают; 3) изгиб пластины при потере устойчивости описывается с помощью обычных гипотез теории изгиба пластин (см. гл. 9.2). Пусть все внешние силы юзрастают пропорционально параметру Р. Согласно первому допущению при любых значениях Р возможно плоское состояние равновесия пластины, при котором поперечные перемещения WqjCjJ) = 0. Очевидно, что при достаточно малых значениях Р плоское начальное состояние равновесия будет единственным и устойчивым. Когда параметр Р превысит некоторое конечное критическое значение Рк) плоское начальное состояние становится неустойчивым и пластина теряет устойчивость, т.е. переходит в новое состояние с искривленной срединной плоскостью. Возможны два качественно разных случая закритического поведения пластин. Если закрепления контура пластины не препятствуют ее чисто изгибным деформациям, при которых срединная плоскость переходит в развертывающуюся поверхность, малейшее превышение критической нагрузки приводит к очень быстрому росту поперечных прогибов и изгибных напряжений (кривая 7, рис. 9.12.1). Потеря устойчивости практически означает потерю несущей способности пластины. Но у пластин, входящих в состав силовой конструкции, контур обычно закреплен относительно поперечных прогибов и после потери устойчивости срединная плоскость становится поверхностью двоякой кривизны, что неизбежно связано с появлением в ней дополнительных удлинений и углов сдвига. В этом случае пластина после потери устойчивости может продолжать воспринимать возрастающую нагрузку (кривая 2). Однако возникающие изгибные- Рис. 9Л2.1. Диаграммы равновесных состояний напряжения существенно увеличивают максимальные эквивалентные напряжения в пластине. Диаграммы равновесных состояний пластин имеют критическую точку бифурка-ции(рис. 9.12.1): в точке А начальное устойчивое состояние равновесия сменяется новым (тоже устойчивым) состоянием с искривленной срединной плоскостью (ветвление). При плавном нарастании нагрузки в точке А тоже происходит плавный переход от начального плоского устойчивого состояния к ноюму устойчивому состоянию (см. гл. 7.4). Классическая постановка задачи устойчивости оболочек базируется на таких допущениях: 1) срединная поверхность оболочки имеет идеально правильную форму; 2) начальное напряженно-деформированное состояние безмоментное и изменением размеров оболочки до потери устойчивости пренебрегают; 3) изгиб оболочки при потере устойчивости описьшается с помощью гипотез Кирхгофа-Лява (см. гл. 9.1). Все внешние силы считают возрастающими пропорционально одному параметру Р. Как и в задаче устойчивости пластин, при Р < Ру начальное состояние оболочки остается устойчивым (но не обязательно единственным). И для оболочки возможны два качественно различных случая закритического поведения. Когда закрепления краев оболочки допускают ее чисто изгибные деформации, потеря устойчивости оболочки происходит так же, как и пластины (кривая 7, рис. 9.12.1). Примером может служить задача устойчивости нагруженной внешним давлением цилиндрической оболочки с одним свободно опертьв! торцом, а другим полностью свободным. Но поведение оболочки принципиально меняется, если оба торца оболочки будут закреплены. В этом случае чисто изгибные деформации оболочки становятся невозможными и любой ее изгиб неизбежно сопровождается удлинениями и сдвигами в срединной поверхности. Следует отметить, что если при изгибе пластины с закрепленным контуром деформации в срединной плоскости становятся существенными только при больших прогибах, деформации в срединной поверхности оболочки необходимо учитывать и в линейных задачах. Рис. 9.12.2. Диаграмма равновесных состояний оболочек На рис. 9.12.2 показана типичная для задач устойчивости оболочек диаграмма равновесных состояний. Критическая точка Bi бифуркации качественно отличается от критической точки А бифуркации на рис. 9.12.1, В точке Bi перестает быть устойчивым начальное безмоментное состояние равновесия, но в окрестности точки В\ отсутствуют новые устойчивые состояния равновесия оболочки. Участок В2В новых устойчивых состояний равновесия удален от участка ОВу начального устой-чиюго состояния на конечное расстояние. Поэтому даже при плавном нарастании нагрузки переход оболочки в новое устойчивое состояние равновесия не может произойти плавно; такой переход неизбежно должен носить скачкообразный характер, происходить в виде хлопка. Еще одна качественная особенность диаграммы деформирования оболочки состоит в том, что новые устойчивые состояния равновесия становятся возможными еще до достижения критической точки Bi бифуркации. Эти новые состояния (участок В2В) отделены от начального состояния устойчивого равновесия некоторым энергетическим барьером, уменьшающимся по мере приближения к кришчес-кой точке бифуркации. Диаграммы равновесных состояний оболочки предельно упрощены: на рис. 9.12.2 показана только одна ветвь состояния равновесия, отличного от начального. В действительности, полное нелинейное решение включает серию таких ветвей, соответствующих как устойчивым, так и неустойчивым состояниям равновесия. 9.12.2. КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ тонких УПРУГИХ ПЛАСТИН В расчете гишстины на устойчивость центральное место занимает определение точек бифуркации начального плоского состояния ее равновесия. Эту задачу можно решить с помощью либо энергетического критерия, либо однородного линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин. Энергетический критерий бифуркационной потери устойчивости пластин. Рассмотрим пластину в новом изгибном состоянии равновесия, смежном с начальным. Полная потенциальная энергия пластины в новом состоянии э = 3q + аэ, где 3q - энергия в начальном состоянии; АЭ -приращение полной энергии при переходе пластины в новое состояние. Новое состояние считается равновесным, поэтому э имеет стационарное значение, т.е. выполняется условие 63 = 63 + 6{аЗ) = 0. Поскольку начальное состояние равновесно, 53q = 0. Тогда энергетический критерий бифуркационной потери устойчивости 5(А) = 0. (9.12.1) Очевидно, что для определения точек бифуркации приращение энергии a3 следует подсчитывать с точностью до квадратов бифуркационных перемещений w, переводящих пластину из начального состояния в новое смежное изгибное состояние равновесия. Энергетический критерий дает возможность найти все точки бифуркации начального состояния равновесия и соответствующие им собственные значения параметра нагрузки Pnl наименьшее из них будет критическим, т.е. Если действующие в плоскости пластины нагрузки мертвые , не изменяющие значений и направлений при деформациях пластины, то на бифуркационных перемещениях w они работы не совершают и приращение полной потенциальной энергии для изотропной пластины а3 = и +W, (9.12.2) =0,5Л/> ( 1 + +2(1 - - жж j dxdy; W = lj[T,\TZ2s\2ydy. |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |