Первое слагаемое - энергия изгиба пластины (D - изгибная жесткость пластины), второе - работа начальньЕх сил в срединной плоскости на дополнительных удлинениях 8i, 82, у 12. вызываемых бифуркационными перемещениями W. Причем

12 -

8, = -

схду

so = - 2

Кдх. dw dw

(9.12.3)

; У12 =

дх ду

Энергетический критерий можно использовать как для получения линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин, так и для построения приближенного решения задач их устойчивости.

Следует отметить, что, во-первых, для решения задачи устойчивости с помощью выражения (9.12.2) нужно предварительно найти, решив плоскую задачу, начальные силы

,S (для решения задач устойчивости без определения начальных сил следует использовать иной вариант энергетического критерия [1]); во-вторых, выражение (9.12.2) можно использовать независимо от причины возникновения начальных сил в пластине: контурных или массовых нагрузок, неравномерного нагрева, структурных превращений и т.д. Различие в причинах никак не отражается на критических значениях начальных сил, но существенным образом влияет на закритичес-кое поведение пластины.

Однородное линеаризованное уравнение пластины. Оно может бьггь получено тремя разными путями: линеаризацией полных нелинейных уравнений (см. гл. 9.4) в окрестности начального состояния равновесия; непосредственно рассматривая условия равновесия элемента пластины в отклоненном от начального состоянии; из энергетического критерия, т.е. из условия стационарности функционала (9.12.2). Для изотропной пластины постоянной толщины, нагруженной только контурными силами, это уравнение имеет вид

DVVw-p? =0, (9.12.4)

ф 0 0 0

где/7 = Tjaej+2.S аез Гзае.

При заданных на контуре пластины однородных фаничных условиях однородное уравнение (9.12.4) дает возможность найти собственные значения параметра нагрузки

и соответствуюпше собственные функции w. Как уже отмечалось, Р ~( )min ствующая собственная функция

к~к(-) описывает с точностью до масштаба форму, по которой происходит потеря устойчивости пластины.

Точное аналитическое решение задачи устойчивости пластин удается получить только для нескольких частных случаев. Например, для прямоугольной пластины, равномерно сжатой вдоль одной из сторон распределенной силой начальные силы в срединной плоскости = -q; = 0; Т2 = 0. Если все стороны пластины свободно оперты, т.е. заданы граничные условия w = О, dw / дх =0 при

х=0, х=а и w=0, д W I ду =0 при >=<) и у=Ь , то из уравнения (9.12.4) нетрудно найти полный спекгр собственных функций и соответствующий им набор собственных значений нагрузки:

. тх . т-ку w =sm-sm-;

{п1а)

(9.12.5)

где /1, т - целые числа.

Наименьшим значение qj может бьггь только при /Wk=1, а величина л, обеспечивающая наименьшее значение qf, зависит от отношения сторон пластины ajb. Окончательная расчетная формула имеет вид

q k-kD I b. (9.12.6)

В рассматриваемой конкретной задаче коэффициент к подсчитывается просто. В частности, при а/Ь=\ и а/Ь=2 получают /с-4, а при а/Ь>Ъ этот коэффициент практически перестает зависеть от отношения сторон и в расчетах принимают к=А.

При других граничных условиях в задаче устойчивости прямоугольной пластины, равномерно сжатой в одном направлении, окончательный результат представляют в виде формулы (9.12.6); значения коэффициента /с, полученные с помощью точных или приалижен-ных решений, табулированы Т, 31, 33]. Аналогичные решения получены и результаты их табулированы для прямоугольных пластин, нагруженных распределенными нормальными силами, изменяющимися вдоль пластины по линейному закону.

Для прямоугольной пластины, нагруженной равномерно распределенными контурны-

ми касательными силами qx, начальные силы в

срединной плоскости 7;=0, 5= 72=0.

В этом случае задачу устойчивости пластины конечных размеров удается решить только приближенными методами. Окончательный результат и в этой задаче сводят к формуле (9.12.6); для основных вариантов граничных условий значения к тоже табулированы. Например, в случае свободно опертой по всему контуру пластины при а/Ь=\ и а/Ь=2 соответственно /с =9,34 и а:=6,34.

Если на пластину действуют несколько независимо изменяющихся нагрузок, то вместо одного критического значения параметра нагрузки можно построить границу области устойчивости. Например, для прямоугольной пластины, нагруженной равномерно распределенными касательными контурными силами q и нормальными (сжимающими или растягивающими) силами q, критические сочетания касательных и нормальных сил (т.е. граница области устойчивости), найденные в этой задаче с помощью приближенных решений при различных граничных условиях и различных отношениях сторон пластины, достаточно точно аппроксимируются зависимостью л2

= 1,

(9.12.7)

где q \i q - критические касательные и нормальные сжимающие силы, действующие на пластину порознь и подсчитываемые по формуле (9.12.6) при соответствующих граничных условиях и отношении сторон пластины. В случае растягивающих нормальных сил знак перед первым слагаемым меняется на обратный.

Кроме задач устойчивости прямоугольных пластин, имеющих наибольшее практическое значение, достаточно полно исследованы и задачи устойчивости круглых пластин при осесимметричном нагружении [1, 31, 33].

Следует отметить, что большинство задач устойчивости упругих пластин, допускающих точное или приближенное аналитическое решение, решено. Это относится не только к изотропным, но и к анизотропным и подкрепленным пластинам. В настоящее время для решения более сложных задач разработаны эффективные численные методы, доведенные до надежно работающих программных комплексов (см. п. 7.5.4 и гл. 9.8).

9.12.3. КРИТИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК

Рассмотренное выше определение точек бифуркации начального состояния пластин

полностью относится к задаче устойчивости оболочек. Только выражение для изменения полной потенциальной энергии АЭ, используемого в энергетическом критерии (9.12.2), и линеаризованные уравнения в этой задаче имеют более сложную структуру. Например, для круговой цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением р и распределенными силами на торцах, вместо выражения (9.12.2) применяют

A3 = U+U+IV +дЛ, (9.12.8)

Eh ( *2 т 2 2 -г- 8. +2цг,82 +8, +

- 0,5(1-ц)у,2Л*рй;

+ 2(1-ц)

*2 * *

Ж2 - 3&1 2Е

Rdcpdx;

8i +S У12 +

Rd(pdx;

Rddx,

где , V, W - бифуркационные перемещения, описывающие переход оболочки из начального безмоментного состояния в смежное изгибное состояние.

* * * * ♦ Величины 8y,0y,as и Yi2i2 вьфажаются через перемещения w, V, w с помощью линейных зависимостей (9.4.23), а квадратичные деформации определяются формулами ** *2 ** *2 ** * *

Sj =0,501 2 =0,502 Уп =®1®2-

Заметим, что величины и W имеют тот же физический смысл, что и для пластин, а Ue и AI7 соответственно равны энергии деформации срединной поверхности оболочки и работе внешне) гидростатического давления на изменении объема, ограниченного оболочкой.

Имея выражение для АЭ, можно из энергетического критерия (9.12.1) чисто формальным путем получить линеаризованные уравнения, описывающие потерю устойчивое-

ти оболочки, и те граничные условия, которые могут быть заданы на торцах. Так, при подсчете ©J и ©2 и изменений кривизн с помощью

упрощенных соотношений пологой оболочки после несложных преобразований получена система однородных линеаризованных уравнений*

Я дх

Я дх

(9.12.9)

Rd(pdx dx Важно отметить, что энергетический критерий можно использовать и для получения приближенных решений задач устойчивости оболочек с помощью прямых вариационных методов.

Устойчивость цилиццрической оболочки, сжатой в осевом направлении равномерно распределенными силами интенсивностью q. В

этом случае = ~q, Т2 =0, 5 = О и система уравнений (9.12.9) допускает элементарное аналитическое решение, когда на обоих торцах оболочки при JC=0 и х=1 задано

W = 0; Ml = 0; V = 0; = 0.

(9.12.10)

При таких граничных условиях решением будут функции

. тжх

лт =4i sin/Kpsm--;

пт=пт Sin ф Sin

где Пу т - целые числа; Л, - некоторые постоянные.

Подстановкой этих функций в систему уравнений и сокращением общего для всех слагаемых произведения синусов получена система однородных алгебраических уравнений, из условия равенства нулю определителя которой найдены собственные значения

? =0П+-, (9.12.11)

я г,

где л =

Структура полученного выражения характерна для задач устойчивости оболочек: величина цщ определяется двумя слагаемыми, первое из которых пропорционально изгибной жесткости Д а второе - жесткости Eh стенки оболочки на растяжение. Числа волн в окружном и осевом направлениях (% и 2/Як), при которых величина достигает минимума, следует определять подбором. Но при большом числе волн комплекс т\ можно условно рассматривать как непрерывно изменяющийся параметр и определять из условия dqj / dr\ = 0. После элементарных выкладок

(9.12.12)

где - критические осевые сжимающие напряжения.

Последняя формула не дает конкретных значений и /п, а только устанавливает некоторую связь между ними, т.е. при достижении У оболочки становится возможным существование серии различных состояний равновесия, отличных от начального безмо-ментногр.

При других вариантах граничных условий на торцах сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки решение задачи устойчивости значительно усложняется. Однако выполненные исследования показали, что если на торцах оболочки не допускаются перемещения W и V, то для тонкой и достаточно длинной изотропной цилиндрической оболочки практически не зависит от остальных граничных условий и определяется полученной выше формулой.

Устойчивость цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным внешним давлением р. В этом случае в начальном безмомен-тном состоянии внутренние силы = О,

Т2 = -pR, S =0. Для не слишком коротких оболочек простое и надежное решение дает полубезмоментная теория оболочек (см. п. 9.6.3). Рассмотрев условия равновесия элемента оболочки в отклоненном от начального состояния и удерживая только первые степени бифуркационных перемещений, можно вместо разрешающего уравнения (9.6.17) получить однородное линеаризованное уравнение

а*Ф дФ

-г- + 2--

д(р д(р