>v(a,p,/)= [w2(a,/)cosmp-

да=0

+ >v(a,/)sin/7ip

(9.13.3)

где т - число волн упругой поверхности оболочки в окружном направлении.

В этом случае функции w\w\v\v\

w2\>v\ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которые получаются из (9.13.1), и в оперативном виде

д 1

ZU = к-- к - р.

(9.13.4)

dt ph где й - вектор столбец неизвестных функций, характеризующих перемещение срединной поверхности; р - вектор-столбец нагрузок.

Матричный оператор Z получают из (9.13.2) после подстановки (9.13.3). Здесь

(9.13.5)

Для того чтобы задача (9.13.4) или в более общем случае (9.13.1) была определена, необходимо соответствующие уравнения дополнить начальными и граничными условиями. Начальные условия соответствуют заданию положения точек срединной поверхности оболочки и их скоростей в начальный момент времени =0. Начальные условия применительно к (9.13.4) имеют вид

и =/,; -и =/2. dt

(9.13.6)

На каждом краю оболочки может быть задан один из видов граничных условий. В случае упругозакрепленного края (a=const) граничные условия:

Ti{a,,t) - Cju{ai,,t) = Q; 5i(a,p,/)-cv(a,p,/)=0;

(2,(a,p,/)-Cg>v(a,p,/)=0; Mi(a,p,/)-Cj©,(a,p,/)=0,

(9.13.7)

где Грр! - соответственно продольные и сдвигающие силы, возникающие в срединной поверхности, и обобщенные (в смысле Кирх-гоффа) перерезывающие силы; м\ - погонный изгибающий момент; Cj Cs <Qi <М коэффициенты жесткости упругих связей, накладываемые извне на торцовые сечения оболочки.

В предположении, что все величины Ъ -><М равны нулю, получены фаничные условия для свободных торцов оболочки, а при бесконечно больших значениях жесткостей приведены к фаничным условиям для жесткой заделки. Оба варианта фаничных условий относятся к крайним случаям. Все остальные виды фаничных условий можно получить, задавая Cj cs Cq, Cj из интервала значений О < с < оо. Наиболее распространены следующие фаничные условия: для опертого края, свободного в направлении а.

w = М=Т=\ = 0; (9.13.8)

для заделки

tt=0j=v = w = O; (9.13.9)

для свободного края

Ti =5i =qI =м =0. (9.13.10)

9.13.2. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК

Решение задачи о собственных колебаниях является важньв! этапом исследований динамики конструкций. Исследования их позволяют определить резонансные частоты, а знание собственных частот и форм колебаний дает возможность определить реакцию оболочки на внешние нафузки.

Уравнения собственных колебаний оболочек могут быть получены из уравнений (9.13.1), (9.13.4), если положить/Г = О и представить вектор и(а,р,/) в виде

w(a,p,/)=(a,p)e (9.13.11)

Пусть Z - оператор теории оболочек, порождаемый соответствующими дифференциальными уравнениями и фаничными условиями, так что совокупность уравнений и краевых условий можно представить в виде

Введем вещественное гильбертово пространство Д элементы которого суть векторы и, определенные в точках срединной поверхности S оболочки. Определим скалярное произведение и их нормы в Н формулами

= j(u-Wys.

(9.13.13)

Оператор Z симметричен, т.е. если U и U входят в область определения оператора, то

[ZUU ) = {U\ZUy (9.13.14)

[ZJJ,U) = 2W, (9.13.15)

где W - потенциальная энергия деформации упругой оболочки.

Из (9.13.15) следует, что оператор Z положителен, при определенных ограничениях оператор Z можно считать положительно определенным.

Из симметрии и положительной определенности оператора вытекают важные свойства для собственных значений и соответстаующих им векторов.

1. Частоты колебаний оболочки суть вещественные числа. Если Uq - собственный вектор, то для приближенного определения собственных частот колебаний оболочки

(9.13.16)

2. Совокупность всех форм колебаний оболочки образует ортогональную систему функций. Пусть Х<2 - неравные между собой собственные значения, которые пропорциональны собственным частотам, а С/ и U -соответствующие им собственные функции (формы собственных колебаний), тогда

{и\и ) = j[Ul[/ + VV + WW)ds = 0.

(9.13.17)

3. Система собственных форм колебаний ортогональна по энергии оператора L, т.е.

j{L uL,rie,w;)vds = o.

(9.13.18)

Отмеченные свойства собственных частот и соответствующих им форм колебаний носят условный характер, так как дают способ построения собственных частот и соответствующих им форм, если их существование установлено другим образом.

Сформулированные свойства для собственных колебаний оболочек позволяют решить и общую задачу о вынужденных колебаниях оболочек под действием приложенных нагрузок. Например, для уравнения (9.13.4) это можно сделать следующим образом. Представить вектор и в виде разложения в обобщенный ряд Фурье по формам собственных колебаний:

= Z/W(P)- (9.13.19)

Если в качестве координатных функций при использовании метода Бубнова-Галеркина принять формы собственных колебаний f7y(a,p), то с учетом свойств, перечисленных выше, он приводит к следующим уравнениям для функций времени gj{t):

- %+a)\] = G.(/) (y = U,...,c );

Qj{t) = lpUjds,

(9.13.20)

Для каждого j это уравнение может бьггб решено известными методами.

9.13.3. МЕТОДЫ ОПгаДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК

При расчете частот и форм колебаний оболочек используют различные методы. Для некоторого класса оболочек и граничных условий могут быть получены точные решения задачи. Однако в общем случае применяют приближенные методы, связанные с расчетами на ЭВМ.

Точные методы ограниченного применения позволяют получить решение в

замкнутой форме и провести анализ влияния различных параметров на формы и частоты колебаний. Это можно продемонстрировать на примере круговой 1П1линдрической оболочки с шарнирно опертыми краями, пологой и замкнутой сферической оболочек.

Вариационные методы определения собственных частот и форм колебаний более универсальны и позволяют решать задачи для широкого класса граничных условий.

К вариационным методам относится метод Ритца. Потенциальная энергия деформаций тонкой упругой оболочки

и = 0,5JrjSj +Т22 A/jae -i- A/jae -i-

(9.13.21)

где Ti, 72, S, M\, M2, H - компоненты внутренних сил; 8ь 82, у, aei, 2 *12 - Деформации и изменения кривизн, выражающиеся через перемещения срединной поверхности. Максимальная кинетическая энергия

Функционал

(9.13.22)

J = lV-ayT, (9.13.23)

Для определения его минимума на классе допустимых функций, удовлетворяющих кинематическим условиям на торцах оболочки, принято, что такой класс допустимых функций построен. Перемещения оболочки в виде разложений по выбранным функциям:

/ = 1

H. = c<\f>(a.p).

Подстановка в (9.13.23) позволяет представить / в виде квадратичной формы относительно неизвестных с,. Условия минимума выражения / приводят к однородной системе уравнений относительно коэффициентов с/, матричная форма записи которой

A-(obV = 0,

(9.13.25)

где А и В - квадратные матрицы NxN (N=N\-N2+N2)\ с - вектор размерности Л.

Из равенства нулю определителя этой системы следует уравнение собственных частот

А-соВ

= 0.

(9.13.26)

Из решения (9.13.25) для каждого со, являющегося корнем (9.13.26), получаются вектор сив соответствии с (9.13.24) формы колебаний.

Наиболее трудным моментом при применении метода Ритца является построение координатных функций ф/. В ряде случаев в качестве координатных функций целесообразно выбрать произведение балочных функций переменной а и синусоидальных функций переменной Р:

ф(а,р)=с -

<pf(a,p) = C3,/;.

sin-; (9.13.27)

При этом балочные функции должны удовлетворять граничным условиям, соответствующим рассматриваемым для оболочки.

Метод Бубнова-Галер кипа, как и метод Ритца, позволяет получить приближенное решение задачи о собственных колебаниях оболочек. Согласно этому методу строится система координатных функций 7Да,р), удовлетворяющая как кинематическим, так и динамическим граничным условиям, в виде

f/=£c,f/,(a,p).

/ = 1

(9.13.28)

Неизвестные коэффициенты Cj определяются из условий ортогональности выражения ZU -Хи к функциям и(а,р), т.е. из уравнений

j[z(u) - XUy{a,f>)ds = О (/ = 1,2,.

(9.13.29)

После подстановки вместо U разложения (9.13.28), аналогично как и в методе Рит-