Главная Расчет круглых валов 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 Глава 8.3, СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ В табл. 8.3.3 для ряда случаев закрепления стержней и их нагружений приведены вьфажения для определения ф и . Следует отметить, что дифференциальное уравнение стесненного кручения (8.3.19) аналогично уравнению (8.1.38) для растянуто-изогнутого стержня: при замене GJ на TV и EJ на EJ эти уравнения одинаковы. Если тонкостенный стержень кроме кручения испытывает также деформации растяжения и изгиба, то с учетом формулы (8.1.3) общее выражение для суммарных нормальных напряжений в сечениях со. (8.3.21) 8.3.5. стесненное кручение стержней замкнутого профиля В стержнях открытого профиля предполагалось, что при стесненном кручении депланация происходит по тому же закону, что и при свободном кручении, при этом деформации сдвига в срединной поверхности равны нулю. В замкнутом сечении касательные напряжения т, которые приняты равномерно распределенными по толщине 5 стенки, вызывая сдвиги, существенно влияют на депланацию сечения. С учетом этих сдвигов получено выражение для депланации (рис. 8.3.13) w = -P(z)co. (8.3.22) Обобщенная секгориальная координата точки cu=cu-pJ, (8.3.23) где (О = J д1у - обычная секгориальная коор-0 дината, аналогичная используемой в стержнях открытого профиля (см. п. 8.3.4); г - длина перпендикуляра, опущенного из центра кручения на касательную к контуру. Средний радиус замкнутого контура Q (8.3.24) где q - удвоенная площадь, охватываемая средней линией контура. Приведенная длина дуги данной точки контура (8.3.25) Функция P(z) = dp / dz неизвестна, ее находят вместе с неизвестной функцией углов закручивания ф() на основании двух условий А.А. Уманского. Из первого условия, состоящего в том, что напряжения приводят в сечении к суммарному моменту Мкр, получается соотношение (8.3.26) Здесь геометрическая характеристика замкнутого сечения, характеризующая жесткость при свободном кручении, коэффициент депланации сечения ...-it; направленный момент инерции rdA. (8.3.27) (8.3.28) (8.3.29) Phc. 8.3.13. Схема определения депланмшн сечення замкнутого профиля Рис. 8.3.14. Замкнутое сечение, не деплаяирующее при кручении Если Jр = Jyto ц=0 и из (8.3.26) следует, что ф и ЛГкр связаны как при свободном кручении, т.е. депланации и стесненное кручение в таком сечении отсутствуют. В частности, при 5=const это - многоугольник, все стороны которого касаются окружности (рис. 8.3.14). При i7tO возникают депланации (8.3.22) и имеет место стесненное кручение. От коэффициента ц зависит степень развития депланации сечения. Из второго условия, выражающего периодичность функции депланации (8.3.22) при обходе контура, т.е. отсутствие разрывов в перемещениях w в срединной поверхности стержня, следует дифференциальное уравнение для определения углов закручивания: .к\ = -. (8.3.30) Здесь главный обобщенный секториальный момент инерции сечения Напряжения - о: (8.3.31) (8.3.32) х =-:. (8.3.33) Бимомент и изгибно-крутящий моменты находят через (р с помощью выражений 5- = 5- - Z). Здесь 5-=j(o5d5; о (8.3.34) (8.3.35) Ввиду аналогии дифференциального уравнения (8.3.30) и формул для определения напряжений и аналогичным зависимостям для тонкостенных стержней открытого профиля все решения рассматриваемой задачи проводят, как в п. 8.3.4. Координаты точек В и Afo находят, как в п. 8.3.4, заменив СО на ©. Следует отметить, что длина участка стесненного кручения (например, у заделки) стержня замкнутого профиля меньше чем стержня открытого профиля. Эффект стесненного кручения у стержней с замкнутым сечением носит локальный характер. Глава 8.4 КРИВЫЕ СТЕРЖНИ 8.4.1. основные положения Кривым стержнем называют стержень с криволинейной осью. Кривизна стержня характеризуется соотношением радиуса R кривизны оси к высоте h поперечного сечения. Принято различать стержни малой кривизны, если ссотношение Л / < 0,2, и большой кривизны, если h / R> 0,2. Практические расчеты показали, что при изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения с достаточной степенью точности можно определять по формулам, полученным для прямых стержней (при h / R = 0,2 погрешность не превышает 7%, при h / R = l / 15 - не превышает 2%). При исследовании напряжений и деформаций стержней большой кривизны предполагается следующее: поперечные сечения стержня имеют ось симметрии; ось стержня представляет собой плоскую кривую, лежащую в плоскости, проходящей через ось симметрии поперечного сечения; все внешние силы расположены в этой же плоскости; справедлива гипотеза плоских сечений; продольные волокна не оказывают давления друг на друга, и напряжениями в радиальном направлении можно пренебречь. Гипотеза плоских сечений предполагает линейный закон изменения абсолютных удлинений продольных волокон стержня. Для прямого стержня начальная длина всех продольных волокон одинакова, поэтому 8 и а изменяются линейно по высоте стержня. Для кривого стержня начальная длина продольных волокон различная и закон изменения е и а по высоте сечения крлволинейный (гиперболический). 8.4.2. внутренние силовые факторы, возникаю1цие в поперечных сечениях Так как рассматриваемый кривой стержень представляет собой плоскую систему, то все внутренние силы в произвольном сечении приводятся к трем компонентам: продольной силе Ny приложенной в центре тяжести поперечного сечения, поперечной силе Q и изгибающему моменту М. Положительные направления внутренних силовых факторов показаны на рис. 8.4.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов проводят, как и в случае прямых стержней, с помощью метода сечений. (8.4.4) Рис. 8.4.1. Схема действия внутренних силовых факторов положительного направления Между внутренними силовыми факторами и нагрузкой для кривого стержня имеют место следующие зависимости: dM dQ N dN Q - = G; - = (7+-; - = /--. ds ds R ds R (8.4.1) 8.4.3. напряжения в поперечных сечениях Продольная сила Д которая приложена в центре тяжести поперечного сечения стержня, вызывает равномерно распределенные по сечению нормальные напряжения <5N i А, (8.4.2) Следует отметить, что для 1фивого бруса продольная сила N вызывает не только удлинения продольных волокон, но и взаимный поворот поперечных сечений. Поперечная сила Q вызывает касательные напряжения. Обычно при практических расчетах закон их распределения по высоте принимают аналогичным для прямого стержня, а для расчета касательных напряжений используют формулу Журавского: = qsll[jxby\ (8-4.3) Нормальные напряжения от изгибающего момента в любом продольном волокне поперечного сечения (рис. 8.4.2) где S = Ае - статический момент площади поперечного сечения относительно нейтрать-ной оси; е - расстояние от центра С тяжесгл сечения до нейтральной оси; р г +у - рас стояние от центра О кривизны до точки, в которой определяется напряжение. В кривом стержне нейтральная ось проходит не через центр тяжести поперечного сечения С, а между центром тяжести и центром кривизны оси стержня. Эпюра нормальных напряжений а по высоте стержня приведена на рис. 8.4.2. Рис. 8.4.2. Эпюр льных напряжений На основании принципа независимости действия сил при совместном действии продольной силы и изгибающего момента нормальные напряжения а=ад ч-а =ЛГ/+Л/з;/(5р). (8.4.5) При определении напряжений по этой формуле должно быть известно положение нейтральной оси. Радиус кривизны нейтральной оси для любого сечения (8.4.6) Очевидно, что величина г существенно зависит от формы сечения. Для наиболее распространенных сечений значения радиуса г кривизны нейтральной оси приведены в табл. 8.4.1. Так как расчет часто сопряжен с громоздкими вычислениями, можно воспользоваться одной приближенной формулой для определения положения нейтральной оси, например, наиболее простой, полученной Н.Н. Давиденковым. Она позволяет определять эксцентриситет нейтральной оси для кривых стержней, поперечные сечения которых имеют две оси симметрии e = JJ(AR). (8:4.7) |
© 2011 - 2024 www.taginvest.ru
Копирование материалов запрещено |